Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng 6. Khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng 4. Tính thể tích khối lăng trụ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), kết quả là 97,7.

Đáy là tam giác đều cạnh $a=6$, gọi $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Ta có $A^{\prime }M=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ và $A^{\prime }M\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$.
Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })⟹A{A}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$, suy ra $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (A{A}^{\prime }M)⟹(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })\perp (A{A}^{\prime }M)$.
Kẻ $A^{\prime }H\perp AM$ tại $H$, khi đó $A^{\prime }H\perp (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, do đó $A^{\prime }H=d(A^{\prime },(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }))=4$.
Trong tam giác vuông $A{A}^{\prime }M$ vuông tại $A^{\prime }$:
$\frac{1}{A^{\prime }{H}^2}=\frac{1}{A{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{A^{\prime }{M}^2}⟹\frac{1}{16}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{(3\sqrt{3}{)}^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{27}$
$⟹\frac{1}{h^2}=\frac{1}{16}-\frac{1}{27}=\frac{11}{432}⟹h=\sqrt{\frac{432}{11}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$.
Diện tích đáy: $S=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$.
Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot h=9\sqrt{3}\cdot \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{11}}=\frac{324}{\sqrt{11}}\approx 97,69\approx 97,7$.