Câu 17THPT#Toán 12#Thể tích tròn xoay
Thuộc đề: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán đợt 2 Sở GD&ĐT Nghệ An (Mã đề 0101)Câu 1. Một nghệ nhân tại làng nghề đúc đồng, nhận chế tác các mẫu đôn trang trí cao cấp bằng đồng. Mỗi chiếc đôn có dạng khối tròn xoay đặc, cao , với thiết kế mềm mại và cân đối quanh một trục thẳng đứng. Khi cắt chiếc đôn bởi một mặt phẳng bất kỳ đi qua trục đối xứng, ta thu được một thiết diện giới hạn bởi hai đường parabol đối xứng nhau qua trục này. Theo yêu cầu thiết kế: Mặt trên và mặt đáy của đôn đều là hình tròn có đường kính ; phần thân được bo thon đều về phía trung tâm, tại đó đường kính nhỏ nhất là . Biết khối lượng riêng của đồng là , giá đồng là nghìn đồng/kg và chi phí gia công cho mỗi sản phẩm là triệu đồng (lượng đồng hao hụt trong quá trình gia công được xem là không đáng kể). Tổng chi phí để hoàn thiện một chiếc đôn theo thiết kế trên là bao nhiêu triệu đồng (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

Câu 1. Một nghệ nhân tại làng nghề đúc đồng, nhận chế tác các mẫu đôn trang trí cao cấp bằng đồng. Mỗi chiếc đôn có dạng khối tròn xoay đặc, cao , với thiết kế mềm mại và cân đối quanh một trục thẳng đứng. Khi cắt chiếc đôn bởi một mặt phẳng bất kỳ đi qua trục đối xứng, ta thu được một thiết diện giới hạn bởi hai đường parabol đối xứng nhau qua trục này. Theo yêu cầu thiết kế: Mặt trên và mặt đáy của đôn đều là hình tròn có đường kính ; phần thân được bo thon đều về phía trung tâm, tại đó đường kính nhỏ nhất là . Biết khối lượng riêng của đồng là , giá đồng là nghìn đồng/kg và chi phí gia công cho mỗi sản phẩm là triệu đồng (lượng đồng hao hụt trong quá trình gia công được xem là không đáng kể). Tổng chi phí để hoàn thiện một chiếc đôn theo thiết kế trên là bao nhiêu triệu đồng (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?


Đáp án chính thức: 52,1
Hướng dẫn giải chi tiết
Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), kết quả là 52,1.
Đặt trục là trục đối xứng thẳng đứng của chiếc đôn với gốc tại tâm chiếc đôn, trục vuông góc với trục . Trục biến thiên từ đến (chiều cao ).
Bán kính tại tâm () là . Bán kính tại hai đáy () là .
Đường sinh là parabol . Thay : .
Vậy bán kính thiết diện tại vị trí là .
Thể tích khối tròn xoay:
.
Khối lượng đồng: .
Chi phí nguyên liệu đồng: triệu đồng.
Tổng chi phí: triệu đồng.
Đặt trục là trục đối xứng thẳng đứng của chiếc đôn với gốc tại tâm chiếc đôn, trục vuông góc với trục . Trục biến thiên từ đến (chiều cao ).
Bán kính tại tâm () là . Bán kính tại hai đáy () là .
Đường sinh là parabol . Thay : .
Vậy bán kính thiết diện tại vị trí là .
Thể tích khối tròn xoay:
.
Khối lượng đồng: .
Chi phí nguyên liệu đồng: triệu đồng.
Tổng chi phí: triệu đồng.