Câu 2. Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2-2(m-1)x+4m^2-4m$. Số giá trị nguyên của $m\in [0;2025]$ sao cho $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-2(m-1)x+4m^2-4m$ có $a=1>0$. Để $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ cần $\Delta <0$:
$$\Delta =4(m-1{)}^2-4(4m^2-4m)=4(-3m^2+2m+1)<0$$
$$\iff 3m^2-2m-1>0\iff (3m+1)(m-1)>0\iff m<-frac13\text{ hoặc }m>1.$$
Với $m\in [0;2025]$ nguyên, điều kiện $m>1$ cho $m\in \{2,3,\dots ,2025\}$, gồm $2025-2+1=2024$ giá trị. (Kiểm tra: $m=1$ thì $\Delta =0$, $f(x)=(x{)}^2\ge 0$ không thỏa; $m=0$ thì $\Delta =4>0$ không thỏa.) Kết quả khớp đáp án nguồn 2024.