Câu 2: Một tàu thăm dò AUV tự hành đang hoạt động dưới biển sâu. Hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập với mặt nước biển yên tĩnh là mặt phẳng $(Oxy)$, trục $Oz$ hướng thẳng đứng xuống dưới, đơn vị tính bằng hectomet. AUV bắt đầu hành trình từ vị trí $A(8;6;1)$ và dự định di chuyển theo đường thẳng đến vị trí cuối $B(4;-2;2)$. Trong hành trình của mình, AUV cần tránh một khu vực nhạy cảm hình cầu $(S)$, tâm tại điểm $K(2;-4;2)$, bán kính $R=2\text{ hectomet}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 2 (Phần II, câu 14): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

- a) SAI: Mặt cầu $(S)$ tâm $K(2;-4;2)$, bán kính $R=2$ có phương trình chính tắc là $(x-2{)}^2+(y+4{)}^2+(z-2{)}^2=R^2=4$, không phải bằng 2.

- b) ĐÚNG: Vectơ $\overrightarrow{AB}=(4-8;-2-6;2-1)=(-4;-8;1)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(8;6;1)$ nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc: $\frac{x-8}{-4}=\frac{y-6}{-8}=\frac{z-1}{1}$.

- c) ĐÚNG: Quãng đường di chuyển là độ dài đoạn thẳng $AB$: $AB=\sqrt{(-4{)}^2+(-8{)}^2+1^2}=\sqrt{16+64+1}=\sqrt{81}=9\text{ hectomet}$.

- d) ĐÚNG: Khoảng cách từ tâm $K(2;-4;2)$ đến đường thẳng $AB$ là: $d(K,AB)=\frac{|\overrightarrow{AK}\times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$. Ta có $\overrightarrow{AK}=(-6;-10;1)$, $\overrightarrow{AB}=(-4;-8;1)⟹[\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AB}]=(-2;2;8)⟹|[\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AB}]|=\sqrt{4+4+64}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$. Do đó $d(K,AB)=\frac{6\sqrt{2}}{9}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0,943$. Tuy nhiên xét hình chiếu của $K$ lên đoạn $AB$: tọa độ $H$ tương ứng với tham số $t$ thỏa $\overrightarrow{KH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$: $t=\frac{\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}{|}^2}=\frac{24+80+1}{81}=\frac{105}{81}>1$. Vì $t>1$, điểm gần $K$ nhất trên đường thẳng nằm ngoài đoạn $AB$, và khoảng cách từ $K$ đến đoạn thẳng $AB$ đạt tại đầu mút $B$: $KB=\sqrt{(4-2{)}^2+(-2-(-4){)}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{4+4+0}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,828>R=2$. Do đó hành trình trên đoạn $AB$ hoàn toàn nằm ngoài khu vực hình cầu $(S)$.