Câu 2. Vệ tinh hoạt động dựa trên nguyên lý của vật lý Newton. Một vật thể bị kéo bởi một lực hấp dẫn từ một vật thể khác sẽ chuyển động theo một quỹ đạo elip xung quanh vật thể đó. Để đưa vệ tinh lên quỹ đạo, người ta sử dụng các loại tên lửa đẩy khác nhau để cung cấp cho vệ tinh động lượng cần thiết để thoát khỏi trọng lực của Trái Đất và duy trì quỹ đạo ổn định. Để thuận tiện ta quy ước một quỹ đạo gần tròn thành một đường tròn. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, gốc tọa độ là tâm Trái Đất, một vệ tinh nhân tạo có quỹ đạo được coi như một đường tròn có bán kính $13440\text{ km}$ có điểm xuất phát là điểm $B(4032;0;-5376)$ và đây cũng là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh. Quỹ đạo của vệ tinh này nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung và có tâm nằm trên đường thẳng $OB$. Coi Trái Đất là hình cầu hoàn hảo có bán kính bằng $6400\text{ km}$.



Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

a) Quỹ đạo của vệ tinh nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung $Oy$ nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là $\vec{n}=(0;1;0)$. Khẳng định a đúng.

b) Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với trục tung nên có phương trình dạng $y+d=0$.
Điểm $B(4032;0;-5376)$ thuộc mặt phẳng nên $0+d=0\Rightarrow d=0$.
Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo là $y=0$. Khẳng định b sai.

c) Điểm $B(4032;0;-5376)$ có khoảng cách đến tâm Trái Đất $O$ là $OB=\sqrt{4032^2+0^2+(-5376{)}^2}=6720\text{ km}$.
Bán kính quỹ đạo vệ tinh là $R=13440\text{ km}=2\cdot OB$.
Tâm $I$ của quỹ đạo nằm trên đường thẳng $OB$ và điểm $B$ là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh, suy ra $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $IB$.
Do đó tọa độ tâm $I$ là: $\{\begin{array}{l}{x}_I=2x_O-x_B=-4032\\ y_I=2y_O-y_B=0\\ z_I=2z_O-z_B=5376\end{array}\Rightarrow I(-4032;0;5376)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $IA$ là $\vec{u}=\overrightarrow{IA}=(x_A-x_I;y_A-y_I;z_A-z_I)=(-4033-(-4032);1-0;5378-5376)=(-1;1;2)$.
Đường thẳng đi qua $I$ và có VTCP $(-1;1;2)$ có phương trình tham số:
$\{\begin{array}{l}x=-4032-t\\ y=t\\ z=5376+2t\end{array}$. Khẳng định c đúng.

d) Điểm cực Nam là $K(0;3840;5120)$. Hình chiếu vuông góc của $K$ lên mặt phẳng quỹ đạo $y=0$ là $H(0;0;5120)$.
Khoảng cách $KH=|y_K|=3840\text{ km}$.
Khoảng cách từ $I(-4032;0;5376)$ đến $H(0;0;5120)$ là:
$IH=\sqrt{(0-(-4032){)}^2+0^2+(5120-5376{)}^2}=\sqrt{4032^2+(-256{)}^2}=64\sqrt{3985}\approx 4040\text{ km}$.
Khoảng cách nhỏ nhất từ $H$ đến quỹ đạo tròn tâm $I$ bán kính $R=13440$ là $NH=|R-IH|=13440-64\sqrt{3985}$.
Khoảng cách gần nhất từ vệ tinh đến điểm $K$ là:
$K{N}_{\min }=\sqrt{K{H}^2+N{H}^2}=\sqrt{3840^2+(13440-64\sqrt{3985}{)}^2}\approx 10154\text{ km}\ne 10112\text{ km}$. Khẳng định d sai.