Câu 3. (3,0 điểm)
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất.

Giả sử sản xuất $x(kg)$ sản phẩm loại I và $y(kg)$ sản phẩm loại II. [1,0 điểm]

Điều kiện $x\ge 0,y\ge 0$ và $2x+4y\le 200\iff x+2y\le 100$

Tổng số giờ máy làm việc: $3x+1,5y$

Ta có $3x+1,5y\le 120$

Số tiền lãi thu được là $T=300000x+400000y$ (đồng).

Ta cần tìm $x,y$ thoả mãn: $\{\begin{array}{l}x\ge 0,y\ge 0\\ x+2y\le 100\\ 3x+1,5y\le 120\end{array}$ (I) sao cho $T=300000x+400000y$ đạt giá trị lớn nhất.

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ vẽ các đường thẳng

$$d_1:x+2y=100;d_2:3x+1,5y=120$$



Đường thẳng $d_1$ cắt trục hoành tại điểm $A(100;0)$, cắt trục tung tại điểm $B(0;50)$.

Đường thẳng $d_2$ cắt trục hoành tại điểm $C(40;0)$, cắt trục tung tại điểm $D(0;80)$.

Đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $E(20;40)$.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác $OBEC$.

$$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\Rightarrow T=0;\{\begin{array}{l}x=0\\ y=50\end{array}\Rightarrow T=20000000;$$

$$\{\begin{array}{l}x=20\\ y=40\end{array}\Rightarrow T=22000000;\{\begin{array}{l}x=40\\ y=0\end{array}\Rightarrow T=12000000$$

Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất $20kg$ sản phẩm loại I và $40kg$ sản phẩm loại II.