Câu 3. (4 điểm) Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho có thể điền vào bảng $4\times 4$ mỗi ô một số trong tập hợp $\{1,2,\dots ,n\}$ sao cho mỗi số $1,2,\dots ,n$ đều có mặt trong bảng, đồng thời trong mỗi hàng và trong mỗi cột không có hai số bằng nhau hoặc hơn kém nhau 1 đơn vị.

Xét một cách điền thỏa mãn yêu cầu. Do các số trong mỗi hàng đôi một khác nhau nên $n\ge 4$. Nói riêng số 2 buộc phải xuất hiện trong bảng. Xét hàng/cột chứa một số 2. Theo giả thiết các số trong hàng/cột này đôi một hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị nên $n\ge 8$.

Nếu $n=8$ thì trên hàng/cột chứa số 2 phải xuất hiện các số 2, 4, 6, 8.
Xét hàng/cột chứa số 7. Khi đó hàng/cột này phải chứa các số 1, 3, 5, 7.
Suy ra ô giao của hàng chứa một số 2 và cột chứa một số 7 phải được điền một số vừa chẵn vừa lẻ, mâu thuẫn.

Với $n=9$, ta có cách điền sau thỏa mãn