Câu 1. (3 điểm) Giải hệ phương trình
$$\{\begin{array}{l}16x^2+\frac{7}{x}=\frac{27}{y}\\ 16y^2+\frac{9}{y}=\frac{21}{x}.\end{array}$$

Câu 2. (4 điểm) Ký hiệu $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$. Đặt
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-\{x\}& \text{khi }\{x\}\le \frac{1}{2}\\ x-\{x\}+1& \text{khi }\{x\}>\frac{1}{2}.\end{array}$$

a. Tìm tập hợp tất cả các số nguyên $n$ sao cho $f(\sqrt{n})=2025$.

b. Với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, đặt $u_n=\frac{1}{f(\sqrt{1})}+\frac{1}{f(\sqrt{2})}+\cdots +\frac{1}{f(\sqrt{n})}-2\sqrt{n}$.

Chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. (4 điểm) Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho có thể điền vào bảng $4\times 4$ mỗi ô một số trong tập hợp $\{1,2,\dots ,n\}$ sao cho mỗi số $1,2,\dots ,n$ đều có mặt trong bảng, đồng thời trong mỗi hàng và trong mỗi cột không có hai số bằng nhau hoặc hơn kém nhau 1 đơn vị.

Câu 4. (4 điểm) Gọi $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a!+2\cdot (b!)=a^{2b}$.

a. Chứng minh $b\ne a-2$.

b. Tìm tất cả các cặp số $(a,b)$ thỏa mãn điều kiện đã cho.

Câu 5. (5 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $M,N$ và $P$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA$ và $AB$. Gọi $X,Y$ và $Z$ theo thứ tự là giao điểm của các tiếp tuyến khác $BC,CA,AB$ kẻ từ $N$ và $P$, kẻ từ $M$ và $P$, kẻ từ $M$ và $N$ tới $(I)$, sao cho tam giác $XYZ$ nhận $(I)$ làm đường tròn nội tiếp và các điểm $M,N,P$ theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng $YZ,ZX,XY$.

a. Chứng minh đường tròn nội tiếp mỗi tam giác $XPN,YPM,ZMN$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$.

b. Chứng minh $I$ là tâm đẳng phương của các đường tròn nội tiếp tam giác $XPN,YPM$ và $ZMN$.