Câu 4. (4 điểm) Gọi $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a!+2\cdot (b!)=a^{2b}$.

a. Chứng minh $b\ne a-2$.

b. Tìm tất cả các cặp số $(a,b)$ thỏa mãn điều kiện đã cho.

a. Giả sử $b=a-2$. Khi đó ta có $a!+2(a-2)!=a^{2a-4}$.
Do $b\ge 1$ nên $a\ge 3$. Rõ ràng $a=3$ không thỏa mãn điều kiện trên nên $a\ge 4$.
Khi đó $a^{2a-4}\ge a^a$ và $a!+2((a-2)!)<2(a!)=2\cdot 2\cdot 3\cdots a<a^a$, vô lý.
Vậy $b\ne a-2$.

b. Rõ ràng $a>1$.
Với $a=2$ thì $2+2\cdot (b!)=2^{2b}$.
Dễ thấy $b=1$ thỏa mãn vì $2+2\cdot 1!=2^2$.
Nếu $b\ge 2$ thì $2\mid b!$ do đó $2+2\cdot (b!)\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ trong khi đó $4\mid 2^{2b}$, mâu thuẫn.

Xét $a\ge 3$.
Nếu $b\ge a-1$ thì $(a-1)\mid b!$ và $(a-1)\mid a!$ nên ta có $(a-1)\mid a^{2b}$, mâu thuẫn do $a-1\ge 2$ và $a-1$ nguyên tố cùng nhau với $a$.

Suy ra $b\le a-3$ (do $b\ne a-2$). Khi đó
$$2b!\left(1+\frac{(b+1)(b+2)\cdots (a-1)}{2}\cdot a\right)=a^{2b}.$$
Nhân tử $1+\frac{(b+1)(b+2)\cdots (a-1)}{2}\cdot a$, lớn hơn $a$ và nguyên tố cùng nhau với $a$,
vì thế không thể là ước của $a^{2b}$ được, mâu thuẫn.
Vậy $(a,b)=(2,1)$ là cặp số duy nhất thỏa mãn yêu cầu của bài toán.