Câu 5. (5 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $M,N$ và $P$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA$ và $AB$. Gọi $X,Y$ và $Z$ theo thứ tự là giao điểm của các tiếp tuyến khác $BC,CA,AB$ kẻ từ $N$ và $P$, kẻ từ $M$ và $P$, kẻ từ $M$ và $N$ tới $(I)$, sao cho tam giác $XYZ$ nhận $(I)$ làm đường tròn nội tiếp và các điểm $M,N,P$ theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng $YZ,ZX,XY$.

a. Chứng minh đường tròn nội tiếp mỗi tam giác $XPN,YPM,ZMN$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$.

b. Chứng minh $I$ là tâm đẳng phương của các đường tròn nội tiếp tam giác $XPN,YPM$ và $ZMN$.

Giả sử các điểm có vị trí như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự.



a. Gọi $(J_a)$, $(J_b)$, $(J_c)$, $(J)$ lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác $XPN,YPM,ZMN,MNP$ và $U,V,R,S$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $YZ,BC,XZ,AC$. Gọi $E$ là tiếp điểm của $(J_c)$ với $MN$.
Ta có
$$ZM-ZN=MU+UZ-NR-RZ=MU-NR=MV-NS$$
$$=VC-MC-CS+CN=CN-CM=PM-PN.$$
Do đó $ME=\frac{MN+MZ-NZ}{2}=\frac{MN+MP-PN}{2}$.
Suy ra $E$ cũng là tiếp điểm của $(J)$ với $MN$. Suy ra $(J)$ tiếp xúc với $(J_c)$.
Tương tự $(J)$ cũng tiếp xúc với $(J_a),(J_b)$.

b. Gọi $F,K$ là tiếp điểm của $(J_b)$ với $MP$, $YZ$, $L$ là tiếp điểm của $(J_c)$ với $YZ$, $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, $V{V}^{\prime }$ là đường kính của $(I)$.
Xét phép vị tự tâm $F$ biến $(J_b)$ thành $(J)$, biến $K$ thành $H$. Khi đó tiếp tuyến tại $H$ của $(J)$ song song với $YZ$. Tương tự ta thu được $KF$ cắt $EL$ tại $H$ nằm trên $(J)$.
Ta có $ML=ME=MF=MK$ nên $KFEL$ là tứ giác nội tiếp.
Từ đó $HM$ là trục đẳng phương của $(J_b)$ và $(J_c)$.

Chú ý rằng tiếp tuyến tại $U$ của $(I)$ song song với tiếp tuyến tại $H$ của $(J)$ nên
$$V_G^{-\frac{1}{2}}:\Delta ABC\Rightarrow \Delta MNP,(I)\Rightarrow (J),U\mapsto H.$$
Suy ra $MH\parallel AU$.
Mặt khác $A,V^{\prime },U$ thẳng hàng nên $IM\parallel AU$.
Suy ra $H,I,M$ thẳng hàng.
Suy ra $I$ thuộc trục đẳng phương của $(J_b)$ và $(J_c)$.
Chứng minh tương tự ta thu được điều phải chứng minh.