Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1},& khix\ne 1\\ a-1,& khix=1\end{array}$ $(a\in \mathbb{R})$
a) Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) Với $a=3$ thì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.
c) ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1$.
d) Hàm số đã cho liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}f(x)=2$. a) Đúng: hàm được xác định tại mọi $x$ (mẫu khác 0 khi $x\ne 1$, và $f(1)=a-1$ xác định với mọi $a$). b) Đúng: với $a=3$, $f(1)=2={\lim }_{x\to 1}f(x)$, hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. c) Sai: hai giới hạn một phía đều bằng $2$, không phải $1$. d) Đúng: trên $(-\infty ;1)$, $f(x)=x+1$ là hàm đa thức nên liên tục. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (3a Đ, 3b Đ, 3c S, 3d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định tại mọi $x\in \mathbb{R}$: với $x\ne 1$ mẫu $x-1\ne 0$, với $x=1$ thì $f(1)=a-1$ xác định.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=3$: $f(1)=2$ và ${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2$, nên hàm liên tục tại $x=1$ và trên toàn $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x^2-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;1)$, $f(x)=x+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng này.