Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{x}$.

a) $\int f(x)dx=\int \left(2+\frac{1}{x}\right)dx=2x+\ln |x|+C$. Đúng.
b) Trên $(0;+\infty )$, $F(x)=2x+\ln x+C_1$. Vì $F(1)=3⟺2+C_1=3⟺C_1=1$. Do đó $F(x)=2x+\ln x+1⟹F(e)=2e+\ln e+1=2e+2$. Đúng.
c) $\int f^{\prime }(2x)dx=\frac{1}{2}f(2x)+C=\frac{1}{2}\left(2+\frac{1}{2x}\right)+C=1+\frac{1}{4x}+C\ne \frac{4x+1}{2x}+C$. Sai.
d) Nguyên hàm tổng quát của $f(x)$ là $G(x)=\{\begin{array}{ll}2x+\ln x+C_1& \text{với }x>0\\ 2x+\ln (-x)+C_2& \text{với }x<0\end{array}$.
$G(2)=1⟹4+\ln 2+C_1=1⟹C_1=-3-\ln 2$.
$G(5)+G(-5)=0⟺(10+\ln 5+C_1)+(-10+\ln 5+C_2)=0⟺2\ln 5+C_1+C_2=0⟹C_2=3+\ln 2-2\ln 5$.
Khi đó $G(-2)=2(-2)+\ln 2+C_2=-4+\ln 2+3+\ln 2-2\ln 5=-1+2\ln (0,4)\ne -1$. Sai.