Cho $\cos \alpha =\frac{2}{3}$ với $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Sai. Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

b) Sai. Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

c) Đúng. Từ đó ta có $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{2}$

d) Sai. $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\cot \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=2\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)$ (Do $\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{\pi }{2}$ )

Mà $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \alpha }{1-\tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }=\frac{1-\frac{\sqrt{5}}{2}}{1+\frac{\sqrt{5}}{2}}=4\sqrt{5}-9$

Vậy $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\cot \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=-18+8\sqrt{5}$
a) Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
b) Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
c) Từ đó ta có $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{2}$
d) $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\cot \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=2\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)$ (Do $\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{\pi }{2}$ )

Mà $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \alpha }{1-\tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }=\frac{1-\frac{\sqrt{5}}{2}}{1+\frac{\sqrt{5}}{2}}=4\sqrt{5}-9$

Vậy $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\cot \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=-18+8\sqrt{5}$