Cho $\tan \alpha +\cot \alpha =2$. Xét biểu thức $P={\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\tan \alpha +\cot \alpha =2$, ta có $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }=2$, suy ra $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}$. a) Bình phương hai vế: ${\tan }^2\alpha +2\tan \alpha \cot \alpha +{\cot }^2\alpha =4$, mà $\tan \alpha \cot \alpha =1$ nên ${\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =2\ne 4$ → sai. b) Đúng như trên. c) $P={\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^3-3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=1-3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$, không phải $1+3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$ → sai. d) ${\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}$ nên $P=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế của $\tan \alpha +\cot \alpha =2$ được ${\tan }^2\alpha +2+{\cot }^2\alpha =4$, suy ra ${\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =2\ne 4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=1-3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$ (dấu trừ, không phải dấu cộng).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}$ nên $P=1-3\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$.