Cho 2025 số thực $a_1,a_2,\dots ,a_{2025}$ khác 0 và không phải tất cả đều bằng nhau. Biết rằng các số này thỏa mãn:
$$a_1+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_3}=\cdots =a_{2024}+\frac{1}{a_{2025}}=a_{2025}+\frac{1}{a_1}.$$
Chứng minh rằng tích của 2025 số này không thể bằng 2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi giá trị chung là $c$: $a_i+\frac{1}{a_{i+1}}=c$ với mọi $i$ (chỉ số lấy mod 2025, tức $a_{2026}=a_1$). Vì các số khác 0 nên $a_{i+1}=\frac{1}{c-a_i}$, suyra $c\ne a_i$ với mọi $i$.

Từ $a_i+\frac{1}{a_{i+1}}=a_{i+1}+\frac{1}{a_{i+2}}$ ta có:
$$a_i-a_{i+1}=\frac{1}{a_{i+2}}-\frac{1}{a_{i+1}}=\frac{a_{i+1}-a_{i+2}}{a_{i+1}{a}_{i+2}}.$$

Trước hết chứng minh $a_i\ne a_{i+1}$ với mọi $i$. Thật vậy, nếu $a_i=a_{i+1}$ thì từ $a_{i+1}=\frac{1}{c-a_{i+1}}$ suy ra $a_{i+1}(c-a_{i+1})=1$, khi đó $a_{i+2}=\frac{1}{c-a_{i+1}}=a_{i+1}$, và bằng quy nạp $a_{i+1}=a_{i+2}=\cdots =a_{2025}=a_1=\cdots =a_i$, tức tất cả các số bằng nhau — mâu thuẫn với giả thiết. Do đó mỗi thừa số $a_i-a_{i+1}\ne 0$.

Nhân $2025$ đẳng thức trên theo chu kỳ $i=1,2,\dots ,2025$:
$$\prod _{i=1}^{2025}(a_i-a_{i+1})=\frac{{\prod }_{i=1}^{2025}(a_{i+1}-a_{i+2})}{{\prod }_{i=1}^{2025}{a}_{i+1}{a}_{i+2}}.$$
Hai tích ở tử bằng nhau (chỉ khác chỉ số dịch chuyển), và ${\prod }_{i=1}^{2025}{a}_{i+1}{a}_{i+2}={\left({\prod }_{i=1}^{2025}{a}_i\right)}^2$. Đặt $T=\prod a_i$, $P=\prod (a_i-a_{i+1})\ne 0$, ta được:
$$P=\frac{P}{T^2}\Rightarrow T^2=1\Rightarrow T=\pm 1.$$
Vậy tích của 2025 số đã cho chỉ có thể bằng $1$ hoặc $-1$, do đó không thể bằng $2$. $■$