Tìm số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho với mười điểm trong mặt phẳng có tính chất: năm điểm bất kỳ trong mười điểm này đều chứa ít nhất bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn, thì tồn tại $k$ điểm trong mười điểm trên cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải (LMF - Dự tuyển KHTN 2025 - P4).

Để ý trường hợp 9 điểm cùng một đường tròn và một điểm nằm ngoài thỏa mãn, do đó $k\le 9$.

Ta sẽ chứng minh $k=9$ thỏa mãn, tức với 10 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài, tồn tại 9 điểm cùng thuộc một đường tròn.

Bước 1: Chứng minh tồn tại 5 điểm thuộc một đường tròn.

Giả sử với 10 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán, không có 5 điểm nào thuộc một đường tròn.

Tức là với mọi bộ 5 điểm sẽ chỉ có đúng 4 điểm thuộc một đường tròn.

Gọi $N$ là số lượng các bộ 4 điểm đồng viên, mỗi bộ 4 điểm như vậy thuộc $10-4=6$ tập gồm 5 điểm.

Đầu tiên ta sẽ đếm bằng hai cách số bộ $(a,B)$ với $a$ là bộ 4 điểm thuộc một đường tròn và $B$ là bộ 5 điểm chứa 4 điểm của bộ $a$.

- Cố định bộ $a$, ta có 6 cách chọn bộ $B$ nên số bộ thỏa mãn là $6N$.
- Cố định bộ $B$, ta có 1 cách chọn $a$ nên số bộ thỏa mãn là $C_{10}^5$.

Do đó $N=\frac{C_{10}^5}{6}=42$.

Tổng số các bộ 3 điểm được tạo ra từ các đường tròn này là $N.C_4^3=42.4=168$.

Tuy nhiên số bộ 3 điểm có được từ 10 điểm là $C_{10}^3=120$, mà từ nhận xét trên ta suy ra số bộ 3 điểm ít nhất là 168 nên có được mâu thuẫn xảy ra.

Do đó tồn tại một đường tròn chứa ít nhất 5 điểm.

Bước 2: Chứng minh tồn tại 9 điểm thuộc một đường tròn.

Giả sử không có 9 điểm nào đồng viên. Điều này có nghĩa là nếu ta lấy đường tròn $(C)$ chứa số điểm lớn nhất từ tập 10 điểm, thì số điểm trên $(C)$ là $m$ với $5\le m\le 8$.

Do đó, tồn tại ít nhất $10-8=2$ điểm không nằm trên đường tròn $(C)$. Gọi hai điểm đó là $B_1$ và $B_2$.

Gọi tập các điểm trên $(C)$ là $A=\{A_1,A_2,\dots ,A_m\}$.

Vì $m\ge 5$, ta có thể chọn 3 điểm từ $A$, ví dụ $A_1,A_2,A_3$. Xét tập 5 điểm $S_1=\{B_1,B_2,A_1,A_2,A_3\}$.

- Theo đề bài, 4 điểm trong $S_1$ phải đồng viên.
- Đường tròn duy nhất đi qua $A_1,A_2,A_3$ là $(C)$. Nhưng $B_1,B_2\notin (C)$, nên bộ 4 điểm đồng viên không thể là $\{A_1,A_2,A_3,B_i\}$.
- Do đó, bộ 4 điểm đồng viên phải chứa cả $B_1$ và $B_2$. Không mất tính tổng quát, giả sử bộ 4 điểm đó là $\{B_1,B_2,A_1,A_2\}$. Các điểm này cùng nằm trên một đường tròn mới, gọi là $(C^{\prime })$.

Bây giờ, ta lặp lại quy trình với một điểm khác trên $(C)$. Xét tập 5 điểm $S_2=\{B_1,B_2,A_1,A_2,A_4\}$ (với $A_4\in A$). Lập luận tương tự, ta sẽ có một bộ 4 điểm đồng viên chứa $B_1,B_2$. Ví dụ, $\{B_1,B_2,A_1,A_4\}$ cùng thuộc một đường tròn $(C^{\prime \prime })$.

Ta thấy rằng đường tròn $(C^{\prime })$ đi qua $\{B_1,B_2,A_1,A_2\}$ và đường tròn $(C^{\prime \prime })$ đi qua $\{B_1,B_2,A_1,A_4\}$ nên ta phải có $(C^{\prime })\equiv (C^{\prime \prime })$.

Điều này có nghĩa là $A_4$ cũng phải nằm trên đường tròn $(C^{\prime })$. Bằng cách lặp lại lập luận này cho mọi điểm $A_k\in A$, ta suy ra tất cả các điểm trong $A$ đều nằm trên đường tròn $(C^{\prime })$.

Lúc này ta đã chỉ ra rằng tất cả $m$ điểm trong $A$ và hai điểm $B_1,B_2$ đều cùng nằm trên đường tròn $(C^{\prime })$.

Như vậy, đường tròn $(C^{\prime })$ chứa $m+2$ điểm. Điều này mâu thuẫn điều giả sử rằng $m$ là số lượng điểm đồng viên lớn nhất. Mâu thuẫn trên cho ta thấy được có ít nhất 9 điểm thuộc một đường tròn. Do đó $k_{\max }=9$ là giá trị cần tìm.