Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ và số thực $k\ge 2$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{ka+1}+\frac{1}{kb+1}+\frac{1}{kc+1}\ge \frac{3}{k+1}.$$

Cho 2025 số thực $a_1,a_2,\dots ,a_{2025}$ khác 0 và không phải tất cả đều bằng nhau. Biết rằng các số này thỏa mãn:
$$a_1+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_3}=\cdots =a_{2024}+\frac{1}{a_{2025}}=a_{2025}+\frac{1}{a_1}.$$
Chứng minh rằng tích của 2025 số này không thể bằng 2.

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho
$$1^3+2^3+\cdots +(p-1{)}^3+p^n$$
là số chính phương.

Tìm số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho với mười điểm trong mặt phẳng có tính chất: năm điểm bất kỳ trong mười điểm này đều chứa ít nhất bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn, thì tồn tại $k$ điểm trong mười điểm trên cùng nằm trên một đường tròn.

Giả sử có điểm $K,L$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ sao cho $AL=BK$. Giả sử các đoạn thẳng $AK$ và $BL$ cắt nhau tại điểm $P$.

a) Gọi giao điểm khác $P$ của đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $APL$ và $BPK$ là $T$. Chứng minh rằng $CT$ là phân giác $\angle ACB$.

b) Gọi $I$ và $J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APL$ và $BPK$. Gọi giao điểm của $CT$ và $IJ$ là $Q$. Chứng minh rằng $IP=JQ$.