Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho
$$1^3+2^3+\cdots +(p-1{)}^3+p^n$$
là số chính phương.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1^3+2^3+\cdots +(p-1{)}^3={\left(\frac{p(p-1)}{2}\right)}^2$. Đặt $m=\frac{p-1}{2}$ (nguyên vì $p$ lẻ), biểu thức cần xét là $$S=p^2{m}^2+p^n=p^2\left(m^2+p^{n-2}\right)(n\ge 2),S=p^2{m}^2+p=p(p{m}^2+1)(n=1).$$

**TH1: $n=1$.** $S=p(p{m}^2+1)$. Nếu $S$ chính phương thì $p\mid S\Rightarrow p^2\mid S\Rightarrow p\mid p{m}^2+1$, vô lý. Loại.

**TH2: $n$ chẵn, $n=2k\ge 2$.** Khi đó cần $m^2+p^{2k-2}=t^2$ với $t$ nguyên, tức $(t-m)(t+m)=p^{2k-2}$. Vì $t-m<t+m$ và tích là lũy thừa của $p$ nên $t-m=p^a,t+m=p^b$ với $a<b,a+b=2k-2$. Suy ra $2m=p^b-p^a=p^a(p^{b-a}-1)$. Vì $p\nmid 2m=p-1$ nên $a=0$, khi đó $p^b-1=p-1\Rightarrow b=1\Rightarrow 2k-2=1$, vô lý (vì $2k-2$ chẵn). Loại tất cả $n$ chẵn.

**TH3: $n$ lẻ, $n\ge 3$.** Tương tự cần $m^2+p^{n-2}=t^2$, suy ra $(t-m)(t+m)=p^{n-2}$, với $a=0$ như trên nên $p^b-1=p-1\Rightarrow b=1\Rightarrow n-2=1\Rightarrow n=3$.

**Kiểm tra $n=3$:** $$S={\left(\frac{p(p-1)}{2}\right)}^2+p^3=p^2\cdot \frac{(p-1{)}^2+4p}{4}=p^2\cdot \frac{(p+1{)}^2}{4}={\left(\frac{p(p+1)}{2}\right)}^2,$$ đúng là số chính phương (vì $p(p+1)/2$ nguyên).

Vậy tập tất cả các số cần tìm là $n=3$.