Cho $a,b$ là các số thực thay đổi thỏa mãn ${\log }_{a^2+b^2+20}(6a-8b-4)=1$ và $c,d$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $\sqrt{c^2+c+{\log }_2\frac{c}{d}-7}=\sqrt{2(2d^2+d-3)}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sqrt{(a-c+1{)}^2+(b-d{)}^2}$ là

Có nhà hai nhà $A,B$ cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai nhà đó đến bờ sông lần lượt là $OA=200m$, $BP=300m$. Người ta đo được $OP=600m$ như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm cạnh bên bờ sông cho hai nhà sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí $M$ của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn $OP$ sao cho tổng khoảng cách từ hai nhà đến vị trí $M$ là nhỏ nhất.
Hãy tìm khoảng cách từ M đến O.

Một công ty du lịch muốn quảng bá Tour du lịch đặc biệt của họ đến với du khách bằng cách thiết kế một banner quảng cáo như hình vẽ. Điểm nhấn trên banner là một tam giác đều có cạnh bằng 1 mét với ba đỉnh $A$, $B$, $C$ tương ứng với 3 địa danh mà công ty này muốn nói đến. Họ thiết kế các chuỗi đèn LED chạy từ $A$ đến $B$, từ $B$ đến $C$ và từ $C$ đến $A$; trong đó: chùm sáng chạy từ $A$ đến $B$ (ta xem là điểm $M$ di động) với vận tốc 3 cm/s, chùm sáng chạy từ $B$ đến $C$ (ta xem là điểm $N$ di động) với vận tốc 2 cm/s, chùm sáng chạy từ $C$ đến $A$ (ta xem là điểm $P$ di động) với vận tốc 1 cm/s. Mỗi dao động được tính kể từ khi cả ba chùm sáng cùng xuất phát cho đến khi chùm sáng cuối cùng về đích. Biết $O$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$, tính tổng khoảng cách ngắn nhất $OM+ON+OP$ theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần trăm (trong một dao động).

Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,AC=5$, $\widehat{BAC}=60°$ và điểm $M$ bất kỳ. Biểu thức $P=\sqrt{3}MA+MB+MC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(0;-2;5)$. Điểm $M$ thay đổi thuộc $(Oxy)$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BM$ bằng bao nhiêu?

B. PHẦN TỰ LUẬN (10 điểm)

Bài 1. Trong trận thi đấu bóng bàn đơn nam giữa vận động viên An với vận động viên Bình, trận đấu gồm tối đa 5 set, người nào thắng 3 set sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Giả sử xác suất vận động viên An thắng mỗi set là $0,6$. Tính xác suất để vận động viên An giành chiến thắng chung cuộc.

Bài 2. a) Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^2}{2}-mx+\ln \left(x-1\right)$ đồng biến trên tập xác định.

b) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)={\left(x+3\right)}^2\left(x^2-x\right)$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=f\left(x^2-6x+m\right)$ có 5 điểm cực trị?

Bài 3. a) Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left(1;2;3\right),B\left(2;1;4\right),C\left(7;4;5\right),D\left(2;1;8\right)$. Tìm tọa độ điểm $M\in \left(Oxy\right)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|$ nhỏ nhất.

b) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với $\left(ABC\right)$, $SA=2a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB,AC$ theo $a$.

Bài 4. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $0\le a\le b\le c\le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=\left(a^2-b^2\right)\left(b-c\right)+c^2\left(1-c\right)$$

Cho hai cây cột có chiều cao lần lượt là $3m$, $5m$ và được đặt cách nhau $6m$. Một sợi dây dài được gắn vào đỉnh của mỗi cột và được đóng cọc xuống đất tại một điểm ở giữa hai cột. Chiều dài sợi dây được sử dụng ít nhất là

Một mặt bằng đường đua được mô hình hoá bởi một hình bao gồm hai cạnh của một hình chữ nhật và hai nửa đường tròn bằng nhau. Một khán giả đang ngồi xem đua tại vị trí điểm $P$ (với các thông số được cho như hình vẽ). Gọi $Q$ là điểm trên đường đua sao cho khoảng cách từ $P$ đến $Q$ là ngắn nhất. Khoảng cách ngắn nhất đó bằng bao nhiêu kilomet?.