Cho $a,b$ là hai số thực dương thỏa ${\log }_{5}a=b$ và $2{\log }_5{a}^4+{\log }_{\frac{1}{\sqrt{5}}}a+7{\log }_{\frac{1}{25}}a=({\log }_{5}a{)}^2$. Tính $b+1$.

Ta có các biến đổi lôgarit sau:
- $2{\log }_5{a}^4=2\cdot 4{\log }_{5}a=8{\log }_{5}a=8b$.
- ${\log }_{\frac{1}{\sqrt{5}}}a={\log }_{5^{-\frac{1}{2}}}a=-2{\log }_{5}a=-2b$.
- $7{\log }_{\frac{1}{25}}a=7{\log }_{5^{-2}}a=7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\log }_{5}a=-3,5b$.

Thay vào phương trình đã cho, ta được:
$$8b-2b-3,5b=b^2⟺2,5b=b^2$$

Do $a,b$ là các số thực dương nên $b\ne 0$. Chia cả hai vế cho $b$, ta được $b=2,5$.
Vậy $b+1=2,5+1=\boxed{3,5}$.