Cho $\Delta ABC$ có $A(4;1)$, $B(2;4)$, $C(2;-2)$.
a) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
b) Tìm tọa độ điểm E để điểm A là trọng tâm $\Delta BCE$.
c) Tìm tọa độ trực tâm H của $\Delta ABC$.
d) Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
e) Tìm tọa độ điểm K là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(4;1)$, $B(2;4)$, $C(2;-2)$.

a) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+C-B$. Ta có $D=(4+2-2;1+(-2)-4)=(4;-5)$.

b) $A$ là trọng tâm $\Delta BCE$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=\vec{0}$, suy ra $E=3A-B-C=(12-2-2;3-4+2)=(8;1)$.

c) Vì $B,C$ cùng có hoành độ $2$ nên $BC$ là đường thẳng đứng $x=2$, đường cao từ $A$ là đường ngang $y=1$. Vecto $\overrightarrow{AC}=(-2;-3)$ nên đường cao từ $B$ vuông góc $AC$ có hệ số góc $-\frac{2}{3}$: $y-4=-\frac{2}{3}(x-2)$. Thay $y=1$: $-3=-\frac{2}{3}(x-2)\Rightarrow x=\frac{13}{2}$. Vậy $H\left(\frac{13}{2};1\right)$.

d) Trung điểm của $BC$ là $(2;1)$, đường trung trực của $BC$ là $y=1$. Gọi $I(x;1)$, do $IA=IB$: $(x-4{)}^2+(1-1{)}^2=(x-2{)}^2+(1-4{)}^2\Rightarrow x^2-8x+16=x^2-4x+13\Rightarrow -4x=-3\Rightarrow x=\frac{3}{4}$. Vậy $I\left(\frac{3}{4};1\right)$, bán kính $R=\frac{13}{4}$ (kiểm tra $I{B}^2=\frac{25}{16}+9=\frac{169}{16}$ đúng).

e) Các cạnh: $BC=6$, $CA=\sqrt{(4-2{)}^2+(1+2{)}^2}=\sqrt{13}$, $AB=\sqrt{(4-2{)}^2+(1-4{)}^2}=\sqrt{13}$. Tam giác cân tại $A$ nên tâm nội tiếp nằm trên trục đối xứng $y=1$. Theo công thức trọng tâm barycentric: $K=\frac{6A+\sqrt{13}B+\sqrt{13}C}{6+2\sqrt{13}}=\frac{(24+4\sqrt{13};6+2\sqrt{13})}{6+2\sqrt{13}}$. Tung độ $y_K=1$; hoành độ $x_K=\frac{2(6+\sqrt{13})}{3+\sqrt{13}}=\frac{2(6+\sqrt{13})(3-\sqrt{13})}{(3+\sqrt{13})(3-\sqrt{13})}=\frac{2(5-3\sqrt{13})}{-4}=\frac{3\sqrt{13}-5}{2}$. Vậy $K\left(\frac{3\sqrt{13}-5}{2};1\right)\approx (2,91;1)$.