Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm $A(-2;-1)$, $B(1;3)$, $C(2;-3)$.
a) Chứng minh rằng $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của $\Delta ABC$.
d) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho $BM+CM$ nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(1-(-2);3-(-1))=(3;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(2-(-2);-3-(-1))=(4;-2)$.
Vì $\frac{3}{4}\ne \frac{4}{-2}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, tức $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Vậy $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Trung điểm $I$ của $AB$:
$$I=\left(\frac{-2+1}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2};1\right).$$

c) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:
$$G=\left(\frac{-2+1+2}{3};\frac{-1+3-3}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right).$$

d) Vì $M\in Oy$ nên $M(0;y)$. Hai điểm $B(1;3)$ và $C(2;-3)$ nằm cùng phía so với trục $Oy$ (cùng có hoành độ dương), nên ta lấy điểm $B^{\prime }$ đối xứng với $B$ qua trục $Oy$: $B^{\prime }(-1;3)$. Khi đó $BM+CM=B^{\prime }M+CM\ge B^{\prime }C$, dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của $B^{\prime }C$ với trục $Oy$.

Đường thẳng $B^{\prime }C$ qua $B^{\prime }(-1;3)$ và $C(2;-3)$ có hệ số góc $k=\frac{-3-3}{2-(-1)}=-2$, nên $y=3-2(x+1)=-2x+1$. Tại $x=0$ ta được $y=1$.

Vậy $M(0;1)$, khi đó $BM+CM$ nhỏ nhất bằng $B^{\prime }C=\sqrt{(2+1{)}^2+(-3-3{)}^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$.