Cho bất phương trình $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$ ($m$ là tham số). Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình có nghiệm. $S$ chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$. Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm. Với $m\ne 0$: bất phương trình bậc hai có nghiệm khi $\Delta >0$: $\Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m>0\iff m<\frac{1}{8}$. Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8})$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có $(-1;0)\subset (-\infty ;\frac{1}{8})$ (các khoảng $(0;1)$, $(1;2)$, $(-2;3)$ đều chứa điểm $>\frac{1}{8}$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.