Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ và $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$ thoả mãn $$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4.$$ Phát biểu nào sau đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có các đồng nhất thức quen thuộc: $a+b+c=2s$, $abc=4Rrs$, $ab+bc+ca=s^2+r^2+4Rr$, $a^2+b^2+c^2=2s^2-2r^2-8Rr$, và $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$.

Tính: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(2s^2-2r^2-8Rr)-(s^2+r^2+4Rr)=s^2-3r^2-12Rr$.
Do đó $a^3+b^3+c^3=2s(s^2-3r^2-12Rr)+12Rrs$.

Giả thiết $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4$ trở thành:
$$\frac{2s(s^2-3r^2-12Rr)+12Rrs}{4Rrs}=4-\frac{2r}{R}.$$
Nhân hai vế với $4Rrs$: $2s^3-6s{r}^2-24Rrs+12Rrs=16Rrs-8r^{2}s$, suy ra $2s^3-6s{r}^2+8r^{2}s=28Rrs$, chia $2s>0$: $$s^2=14Rr-r^2.$$

Áp dụng bất đẳng thức Gerretsen $s^2\ge 16Rr-5r^2$, ta được $14Rr-r^2\ge 16Rr-5r\Rightarrow 4r^2\ge 2Rr\Rightarrow R\le 2r$.
Kết hợp bất đẳng thức Euler $R\ge 2r$ (dấu bằng khi tam giác đều), suy ra $R=2r$, tức tam giác $ABC$ đều.

Thử lại: tam giác đều $a=b=c$ thì $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3$, $\frac{2r}{R}=2\cdot \frac{1}{2}=1$, tổng bằng $4$. Đúng.

Vậy phát biểu đúng là: Tam giác $ABC$ đều.