Cho biết $\sin \alpha =-\frac{12}{13},\left(\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi \right)$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{12}{5}<0$, nên phát biểu c) sai. Với d): $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$, nên phát biểu d) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn DDSS (mã đề 1102).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV nên $\cos \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\sqrt{1-{\left(-\frac{12}{13}\right)}^2}=\frac{5}{13}$ (dương vì $\alpha$ ở góc phần tư IV).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{-12/13}{5/13}=-\frac{12}{5}\ne \frac{12}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$.