Cho biểu thức $T=3x-2y-4$ với $x$ và $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x-y-1\le 0\\ x+4y+9\ge 0\\ x-2y+3\ge 0\end{array}.$$ Biết $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=x_0$ và $y=y_0$. Tính $x_0^2+y_0^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao của các đường thẳng: $d_1:x-y=1$, $d_2:x+4y=-9$, $d_3:x-2y=-3$.
- $d_1\cap d_2$: $x=y+1\Rightarrow 5y+1=-9\Rightarrow y=-2,x=-1$, đỉnh $A(-1;-2)$.
- $d_1\cap d_3$: $x=y+1\Rightarrow -y+1=-3\Rightarrow y=4,x=5$, đỉnh $B(5;4)$.
- $d_2\cap d_3$: $x=-9-4y\Rightarrow -9-6y=-3\Rightarrow y=-1,x=-5$, đỉnh $C(-5;-1)$.

Miền nghiệm (với $y\ge x-1$, $y\ge \frac{-9-x}{4}$, $y\le \frac{x+3}{2}$) là tam giác $ABC$ có các đỉnh trên. Giá trị $T=3x-2y-4$ tại các đỉnh:
- $T(A)=3(-1)-2(-2)-4=-3$.
- $T(B)=3(5)-2(4)-4=3$.
- $T(C)=3(-5)-2(-1)-4=-17$.

Vậy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất $-17$ tại $(x_0;y_0)=(-5;-1)$. Do đó $x_0^2+y_0^2=25+1=26$.