Cho các biểu thức sau: $P=\frac{{\log }_a\left(a^3{b}^2\right)-{\log }_b\left(\frac{b^3}{a^2}\right)}{{\log }_a^{2}b+1}$ và $Q={\log }_a{b}^3+{\log }_{a^2}{b}^6$ với $a,b$ là các số dương và $a$ khác 1. Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{a}b$ (x≠0 vì b≠1 để các log xác định). $Q={\log }_a{b}^3+{\log }_{a^2}{b}^6=3x+\frac{6x}{2}=6x$, nên ý a) đúng. Tử của $P$: ${\log }_a(a^3{b}^2)-{\log }_b\frac{b^3}{a^2}=(3+2x)-\left(3-\frac{2}{x}\right)=2x+\frac{2}{x}=\frac{2(x^2+1)}{x}$. Mẫu: $x^2+1$. Vậy $P=\frac{2}{x}=2{\log }_{b}a$, nên ý b) sai (không phải $6{\log }_{b}a$). Ý c): $Q=6x$ còn $3P=\frac{6}{x}$, chỉ bằng khi $x=\pm 1$, không đúng chung nên sai. Ý d): $Q\cdot P=6x\cdot \frac{2}{x}=12$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$Q=3{\log }_{a}b+\frac{6{\log }_{a}b}{2}=6{\log }_{a}b$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{2x+2/x}{x^2+1}=\frac{2}{x}=2{\log }_{b}a\ne 6{\log }_{b}a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$Q=6x$, $3P=6/x$; chỉ bằng khi $x=\pm 1$, không đúng với mọi $a,b$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q\cdot P=6x\cdot \frac{2}{x}=12$.