Cho các hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-4}{x-2}& \text{khi }x\ne 2\\ 4,5& \text{khi }x=2\end{array}$ và $g(x)=\frac{2}{x-1}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, nên $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$. Đúng. b) Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4\ne 4,5=f(2)$ nên $f$ không liên tục tại $x_0=2$. Sai. c) Tại $x=2$: $g(2)=\frac{2}{2-1}=2\ne 0$ và $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{4}{2}=2$, nhưng $\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{4,5}{2}=2,25\ne 2$, nên không liên tục tại $x_0=2$. Sai. d) $g$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định tại $x=2$ (mẫu $2-1=1\ne 0$), nên liên tục tại $x_0=2$. Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$, $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, do đó $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4\ne 4,5=f(2)$ nên $f$ gián đoạn tại $x_0=2$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{4}{2}=2$ nhưng $\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{4,5}{2}=2,25\ne 2$, nên không liên tục tại $x_0=2$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\frac{2}{x-1}$ xác định và liên tục tại $x=2$ vì mẫu số khác $0$ ($g(2)=2$). Đúng.