Cho dãy số $(u_n)$, biết: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}$. Dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số $m$ và $M$. Tính $m+M$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$ tăng nên bị chặn dưới bởi $u_1=1$, tức $m=1$. Với chặn trên: với $k\ge 2$ ta có $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$, do đó $u_n<1+\left(1-\frac{1}{n}\right)=2-\frac{1}{n}<2$, tức $M=2$. Vậy $m+M=1+2=3$, khớp đáp án nguồn.