Cho các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=2$, $|(i+1)w+3+7i|=\sqrt{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z^2+zw-4|$.

Vì $|z|=2\Rightarrow z\bar{z}=4$, nên $|z^2+zw-4|=|z^2+zw-z\bar{z}|=|z|\cdot |w-(\bar{z}-z)|=2|w-(\bar{z}-z)|$.

Đặt $z=x+yi$ với $x^2+y^2=4\Rightarrow y\in [-2;2]$, khi đó $\bar{z}-z=-2yi$ có điểm biểu diễn $B(0;-2y)$ thuộc đoạn thẳng nối $(0;-4)$ và $(0;4)$ trên trục $Oy$.

Mặt khác $|(i+1)w+3+7i|=\sqrt{2}\iff |w+5+2i|=1$, nên điểm biểu diễn $A(w)$ thuộc đường tròn tâm $I(-5;-2)$, bán kính $R=1$.

Từ hình vẽ, $A{B}_{\min }=d(I,Oy)-R=5-1=4\Rightarrow |z^2+zw-4{|}_{\min }=2\cdot 4=8$.