Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=24$ cắt mặt phẳng $(\alpha ):x+y=0$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Tìm hoành độ của điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $A(6;-10;3)$ lớn nhất.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;2;-3)$, bán kính $R=2\sqrt{6}$. Hình chiếu của $I$ lên $(\alpha ):x+y=0$ là $H(-1;1;-3)$.

Hình chiếu của $A(6;-10;3)$ lên $(\alpha )$ là $Q(8;-8;3)$. Đường thẳng $HQ$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y=1-3t\\ z=-3+2t\end{array}$.

Giao điểm của $HQ$ với đường tròn $(C)$ ứng với $t=-1$ và $t=1$, cho hai điểm $M(-4;4;-5)$ (với $MA=6\sqrt{10}$) và $N(2;-2;-1)$ (với $NA=4\sqrt{6}$).

Vậy điểm $M(-4;4;-5)$ có khoảng cách đến $A$ lớn nhất, hoành độ của $M$ bằng $-4$.