Cho các tập hợp $A=\left\{-2;1;2\right\};B=\left\{x\in {\mathbb{Z}}^{\ast }|\left(x^2-4\right)\left(x^3-4x^2+3x\right)=0\right\}$ và $C=\left\{x\in \mathbb{R}|x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m=0\right\}$. Xác định số phần tử $m$ để $\left(A\cup C\right)=B$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $B$: phương trình $(x^2-4)(x^3-4x^2+3x)=0$ có nghiệm $x=\pm 2$ và $x(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=0;1;3$. Vì $x\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$ (số nguyên khác 0) nên $B=\{-2;1;2;3\}$. Tập $C$: $x^2-(2m+1)x+m^2+m=0\iff (x-m)(x-m-1)=0\Rightarrow C=\{m;m+1\}$. Yêu cầu $A\cup C=B$ với $A=\{-2;1;2\}$: cần $C\subseteq B$ và $3\in A\cup C$, tức $3\in C$. Các khả năng: nếu $m=2$ thì $C=\{2;3\}\subseteq B$ và $A\cup C=\{-2;1;2;3\}=B$ (thỏa mãn); nếu $m+1=3$, tức $m=2$ (đã xét); nếu $m=1$ thì $C=\{1;2\}\subseteq A$ nên $A\cup C=A\ne B$ (loại); các cặp khác như $\{m;m+1\}=\{-2;-1\}$ không nằm trong $B$. Vậy chỉ có $m=2$ thỏa mãn, tức có 1 giá trị của $m$.