Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=7\\ u_5-u_2=14\end{array}$.
1. Tìm số hàng đầu $u_1$ và công bội $q$.
2. Tìm $u_4$.
3. Tính $S_{20}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Cấp số nhân (u_n) với u_1+u_2+u_3=7 và u_5−u_2=14.

1) Ta có u_2=u_1 q, u_3=u_1 q^2, u_5=u_1 q^4.
• Phương trình thứ nhất: u_1(1+q+q^2)=7.
• Phương trình thứ hai: u_1(q^4−q)=14, tức u_1 q(q^3−1)=u_1 q(q−1)(q^2+q+1)=14.

Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất (chú ý 1+q+q^2>0 nên u_1≠0):
$$\frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2+q+1}=\frac{14}{7}=2\Rightarrow q(q-1)=2\Rightarrow q^2-q-2=0\Rightarrow q=2\text{ hoặc }q=-1.$$

Với q=2: u_1(1+2+4)=7 ⟹ u_1=1. Kiểm tra: u_5−u_2=16−2=14 ✓.
Với q=−1: u_1(1−1+1)=7 ⟹ u_1=7. Kiểm tra: u_5−u_2=7−(−7)=14 ✓.

Vậy hệ có hai nghiệm: (u_1=1, q=2) hoặc (u_1=7, q=−1).

2) u_4=u_1 q^3:
• Với u_1=1, q=2: u_4=1·8=8.
• Với u_1=7, q=−1: u_4=7·(−1)^3=−7.

3) S_20=u_1·(1−q^{20})/(1−q) với q≠1:
• Với u_1=1, q=2: S_20=(2^{20}−1)/(2−1)=2^{20}−1=1\,048\,575.
• Với u_1=7, q=−1: q^{20}=1 nên S_20=7·(1−1)/(1−(−1))=0.

Kết luận: Hệ có hai bộ nghiệm (u_1; q)=(1; 2) hoặc (7; −1); tương ứng u_4=8 hoặc u_4=−7; S_20=1\,048\,575 hoặc S_20=0.