Cho dãy gồm 2021 số được sắp thứ tự tăng dần như sau: $C_4^4;C_5^4;\dots ;C_{2023}^4;C_{2024}^4$. Lấy ngẫu nhiên ba số hạng liên tiếp từ dãy số đã cho, biết xác suất để tổng ba số này là một số lẻ bằng $\frac{a}{b}$, với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy gồm $C_n^4$ với $n=4,\dots ,2024$ (2021 số hạng). Theo định lý Lucas, $C_n^4$ lẻ khi và chỉ khi các bit của $4=100_2$ là tập con các bit của $n$, tức $n\equiv 4,5,6,7(\mathrm{mod}8)$; ngược lại $C_n^4$ chẵn khi $n\equiv 0,1,2,3(\mathrm{mod}8)$.

Xét tổng ba số hạng liên tiếp $C_n^4+C_{n+1}^4+C_{n+2}^4$: tổng lẻ khi trong ba chỉ số $n,n+1,n+2(\mathrm{mod}8)$ có số lượng phần tử thuộc $\{4,5,6,7\}$ là lẻ. Xét theo $n\mathrm{mod}8$:
- $n\equiv 0$: chỉ số $0,1,2$ → 0 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 1$: chỉ số $1,2,3$ → 0 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 2$: chỉ số $2,3,4$ → 1 số lẻ → tổng lẻ ✓
- $n\equiv 3$: chỉ số $3,4,5$ → 2 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 4$: chỉ số $4,5,6$ → 3 số lẻ → tổng lẻ ✓
- $n\equiv 5$: chỉ số $5,6,7$ → 3 số lẻ → tổng lẻ ✓
- $n\equiv 6$: chỉ số $6,7,0$ → 2 số lẻ → tổng chẵn
- $n\equiv 7$: chỉ số $7,0,1$ → 1 số lẻ → tổng lẻ ✓

Vậy mỗi chu kỳ 8 có 4 vị trí cho tổng lẻ: $n\equiv 2,4,5,7(\mathrm{mod}8)$.

Ba số hạng liên tiếp được chọn với $n=4,\dots ,2022$: 2019 giá trị. Vì $2019=252\cdot 8+3$ và dãy chỉ số bắt đầu tại $n\equiv 4(\mathrm{mod}8)$, 252 chu kỳ đầy đủ cho $252\cdot 4=1008$ trường hợp lẻ; 3 giá trị còn lại là $n=2020,2021,2022\equiv 4,5,6(\mathrm{mod}8)$, trong đó $n\equiv 4,5$ cho tổng lẻ (thêm 2). Tổng cộng 1010 trường hợp lẻ.

Xác suất $=\frac{1010}{2019}$; $2019=3\cdot 673$, $1010=2\cdot 5\cdot 101$ nguyên tố cùng nhau nên tối giản. Vậy $a+b=1010+2019=3029$.