Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh bên bằng $a$. Góc hợp bởi đường cao $SH$ của hình chóp và mặt bên bằng ${\alpha }^{\circ }$. Lần lượt kẻ $HE\perp BC(E\in BC)$ và $HF\perp SE(F\in SE)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là tâm đáy hình chóp đều $S.ABCD$, $SH=h$, $HE=x$ với $HA=x\sqrt{2}$, ràng buộc $h^2+2x^2=a^2$. Vì $BC\perp (SHE)$ nên $BC\perp SF$; kết hợp $HF\perp SE$ suy ra $F$ là hình chiếu của $H$ trên $(SBC)$, do đó góc giữa $SH$ và mặt bên là $\alpha =\angle HSF$.

a) $V=\frac{1}{3}(2x{)}^{2}h=\frac{4}{3}{x}^{2}h$. Đặt $t=x^2$, cực đại của $t\sqrt{a^2-2t}$ đạt tại $t=a^2/3$, tức $x=h=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Khi đó $\tan \angle HSE=\frac{x}{h}=1\Rightarrow \angle HSE=45^{\circ }$. Tam giác $SHE$ vuông tại $E$ có đường cao $HF$ xuống cạnh huyền $SE$ nên $\angle SHF=\angle HSE$ (cùng phụ với $\angle HSF$), suy ra $\alpha =\angle HSF=90^{\circ }-\angle HSE=45^{\circ }\in (30^{\circ };45^{\circ }]$. Đúng.

b) $SF\perp SE$ (giả thiết) và $BC\perp (SHE)\Rightarrow BC\perp SF$; $SE$ và $BC$ cắt nhau trong $(SBC)$ nên $SF\perp (SBC)$. Đúng.

c) Với $\alpha =45^{\circ }$: $x=h=\frac{a}{\sqrt{3}}$, cạnh đáy $CD=\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Vì $AB\parallel CD\subset (SCD)$ nên $d(AB,SC)=d(A,(SCD))=2d(H,(SCD))$. Mặt phẳng $(SHE)\perp (SCD)$ (do $CD\perp (SHE)$), giao tuyến $SE$, nên $d(H,(SCD))=d(H,SE)=\frac{SH\cdot HE}{SE}=\frac{h\cdot x}{h\sqrt{2}}=\frac{h}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}}$. Vậy $d(AB,SC)=\frac{2a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\approx 0,816a\ne \frac{a\sqrt{21}}{7}\approx 0,655a$. Sai.

d) Trong tam giác $SHE$ vuông tại $E$ có đường cao $HF$ xuống cạnh huyền $SE$: $\angle SHF=\angle HSE$ (cùng phụ với $\angle HSF$), do đó $\angle FSH=90^{\circ }-\angle SHF=90^{\circ }-\angle HSE=\angle ESH$ với mọi cấu hình. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{4}{3}{x}^{2}h$ với $h^2+2x^2=a^2$ đạt cực đại khi $x=h=\frac{a}{\sqrt{3}}$, khi đó $\angle HSE=45^{\circ }$ và $\alpha =\angle HSF=90^{\circ }-\angle HSE=45^{\circ }\in (30^{\circ };45^{\circ }]$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SF\perp SE$ và $BC\perp (SHE)\Rightarrow BC\perp SF$; $SE,BC\subset (SBC)$ cắt nhau nên $SF\perp (SBC)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $\alpha =45^{\circ }$: $x=h=\frac{a}{\sqrt{3}}$, $d(AB,SC)=2d(H,(SCD))=2\cdot \frac{h}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\approx 0,816a\ne \frac{a\sqrt{21}}{7}\approx 0,655a$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $SHE$ vuông tại $E$ có đường cao $HF$ xuống cạnh huyền $SE$ nên $\angle SHF=\angle HSE$ (cùng phụ với $\angle HSF$), suy ra $\angle FSH=90^{\circ }-\angle SHF=\angle ESH$ luôn đúng. Đúng.