Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm trên $AE$ và $BD$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AE$, $BN=\frac{1}{x}BD$ $(x>0)$. Tìm $x$ để $MN//\left(CDFE\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AF}=\vec{e}$. Khi đó $\overrightarrow{AE}=\vec{b}+\vec{e}$ (vì $ABEF$ là hình bình hành), $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$.

Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{e}),\overrightarrow{AN}=\vec{b}+\frac{1}{x}(\vec{d}-\vec{b})=\left(1-\frac{1}{x}\right)\vec{b}+\frac{1}{x}\vec{d}.$$

Suy ra
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{x}\right)\vec{b}+\frac{1}{3x}\vec{d}-\frac{1}{3}\vec{e}.$$

Mặt phẳng $(CDFE)$ chứa hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{DC}=\vec{b}$ và $\overrightarrow{DF}=\vec{e}-\vec{d}$. Để $MN\parallel (CDFE)$ thì $\overrightarrow{MN}$ phải là tổ hợp tuyến tính của $\vec{b}$ và $\vec{e}-\vec{d}$:
$$\overrightarrow{MN}=a\vec{b}+t(\vec{e}-\vec{d})=a\vec{b}+t\vec{e}-t\vec{d}.$$

So sánh hệ số: hệ số của $\vec{e}$ cho $t=-\frac{1}{3}$; hệ số của $\vec{d}$ cho $\frac{1}{3x}=-t=\frac{1}{3}\Rightarrow x=1$. Khi đó $a=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$, tức $\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}(\vec{e}-\vec{d})$, thực sự song song với mặt phẳng $(CDFE)$.

Vậy $x=1$, chọn đáp án B.