Cho tứ diện $OABC$ có $AOB=BOC=60^0$; $AOC=90^0$; $OA=OB=OC=2$. $M$ là điểm thuộc cạnh $OA$ sao cho $AM=2.MO$; $N$ là trung điểm của $BC$. Tính độ dài véc tơ $\overrightarrow{MN}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $O$: $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ đôi một tạo góc $60^0,60^0,90^0$, độ dài 2. Vì $AM=2MO$ nên $MO=\frac{2}{3}$, tức $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$. Với $N$ trung điểm $BC$: $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$. Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$. Tính: $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=2\cdot 2\cos 60^0=2$; $|\overrightarrow{ON}{|}^2=\frac{1}{4}(4+4+2\cdot 2)=3$. $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{OM}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA})=\frac{1}{6}(2+0)=\frac{1}{3}$. Do đó $|\overrightarrow{MN}{|}^2=3+\frac{4}{9}-2\cdot \frac{1}{3}=\frac{25}{9}$, suy ra $MN=\frac{5}{3}$. Đáp án D.