Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá 10 số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(2^{x+1}-\sqrt{2}\right)\left(2^x-y\right)<0$?

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $(2^{x+1}-\sqrt{2})(2^x-y)<0$ có hai nghiệm $x=-\frac{1}{2}$ (khi $2^{x+1}=\sqrt{2}$) và $x={\log }_{2}y$. Với $y$ nguyên dương thì ${\log }_{2}y\ge 0>-\frac{1}{2}$, nên bất phương trình tương đương $-\frac{1}{2}<x<{\log }_{2}y$, tức $x$ nguyên thỏa $0\le x<{\log }_{2}y$ (tương đương $2^x<y$). Số giá trị $x$ nguyên là $\lceil {\log }_{2}y\rceil$. Yêu cầu $\lceil {\log }_{2}y\rceil \le 10$ tức ${\log }_{2}y\le 10$, suy ra $y\le 2^{10}=1024$. Vậy có $1024$ số nguyên dương $y$ (từ 1 đến 1024). Đáp án C.