Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}\end{array}$$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 1$. Tính giá trị của $T=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+...+\frac{1}{u_{40}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$. Từ $u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}$, ta có $v_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n}=2+\frac{1}{u_n}=v_n+2$. Vậy $(v_n)$ là cấp số cộng với $v_1=1$, công sai $d=2$. Do đó $T=v_1+v_2+...+v_{40}=\frac{40}{2}\left(2v_1+39d\right)=20(2+78)=1600$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1600.