Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=2$ và $n{u}_{n+1}=2(n+1)u_n+n^2+n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.
b) Chứng minh $T=\frac{u_1}{1}+\frac{u_2}{2}+\frac{u_3}{3}+...+\frac{u_{2025}}{2025}+\frac{u_{2026}}{2026}<3.2^{2026}$.

a) Ta có $n{u}_{n+1}=2(n+1)u_n+n^2+n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ suy ra $n(u_{n+1}-u_n)=2(n+1)u_n+n^2+n-n{u}_n=(n+2)u_n+n^2+n$.

Dễ thấy $u_{n-1}>0$ và $n>0$ nên $(n+2)u_n+n^2+n>0$.
Suy ra $n(u_{n+1}-u_n),\forall n=1,2,3,\mathrm{4...}$
Suy ra $u_{n+1}-u_n>0$.
Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Chia hai vế cho $n(n+1)$ ta có $\frac{u_{n+1}}{n+1}=2\frac{u_n}{n}+1$.
Đặt $v_n=\frac{u_n}{n}$ suy ra $v_1=2$ và $v_{n+1}=2v_n+1$.
Ta có $v_n+1=2(v_{n-1}+1)=...=2^{n-1}(v_1+1)=3.2^{n-1}$.
Suy ra $v_n=3.2^{n-1}-1$ hay $\frac{u_n}{n}=3.2^{n-1}-1$.

Ta có
$$\frac{u_1}{1}+\frac{u_2}{2}+...+\frac{u_{2025}}{2025}+\frac{u_{2026}}{2026}=3\left(1+2+...+2^{2024}+2^{2025}\right)-2026$$
$$=3.2^{2026}-2029<3.2^{2026}.$$

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.