Cho điểm $M\left(3;1\right)$, đường thẳng $\left(d\right)$ đi qua $M\left(3;1\right)$ và cắt $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A\left(a;0\right)$, $B\left(0;b\right)$ với $a$, $b>0$. Phương trình đường thẳng $\left(d\right)$ sao cho $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$ nhỏ nhất là

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng (d) qua A(a;0), B(0;b) có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì (d) qua $M(3;1)$ nên $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$. Đặt $u=\frac{1}{a},v=\frac{1}{b}$ (u,v>0), ta cần tìm điểm $(u;v)$ trên đường thẳng $3u+v=1$ sao cho $u^2+v^2=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$ nhỏ nhất. Giá trị này nhỏ nhất khi $(u;v)$ là hình chiếu của $O$ lên đường thẳng, tức $u=\frac{3}{10},v=\frac{1}{10}$, suy ra $a=\frac{10}{3},b=10$. Khi đó $\frac{x}{10/3}+\frac{y}{10}=1\iff 3x+y-10=0$. Kiểm tra: qua M(3;1): $9+1-10=0$ đúng; $a=10/3>0,b=10>0$. Kết quả khớp đáp án nguồn B.