Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 6 và các chữ số không vượt quá 6?

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm có 5 chữ số đôi một khác nhau, các chữ số lấy từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, chữ số đầu khác 0, và chia hết cho 6 tức chia hết cho cả 2 và 3.

Bước 1: Chọn 5 chữ số có tổng chia hết cho 3. Phân theo phần dư mod 3: nhóm dư 0 là $\{0,3,6\}$ (3 phần tử), nhóm dư 1 là $\{1,4\}$ (2 phần tử), nhóm dư 2 là $\{2,5\}$ (2 phần tử). Gọi $(a,b,c)$ là số chữ số chọn từ từng nhóm, $a+b+c=5$ và $b+2c\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Các trường hợp thỏa mãn:
- $(3,1,1)$: $b+2c=3\equiv 0$: có $C_3^3{C}_2^1{C}_2^1=4$ tập chữ số.
- $(1,2,2)$: $b+2c=6\equiv 0$: có $C_3^1{C}_2^2{C}_2^2=3$ tập chữ số.
(Các trường hợp $(3,2,0),(2,2,1),(2,1,2),\dots$ cho tổng dư $2,4,5$ không chia hết cho 3.)

Bước 2: Với mỗi tập chữ số, đếm các cách xếp thành số 5 chữ số, chữ số cuối chẵn (để chia hết cho 2) và chữ số đầu khác 0. Số các số = (số cách chọn chữ số cuối chẵn) × (hoán vị 4 chữ số còn lại) trừ đi các trường hợp chữ số đầu bằng 0.

Tập dạng $(3,1,1)$: $\{0,3,6,x,y\}$ với $x\in \{1,4\},y\in \{2,5\}$ (đều chứa 0):
- $\{0,3,6,1,2\}$: chữ số chẵn $\{0,6,2\}$: $3\cdot 4!-2\cdot 3!=72-12=60$.
- $\{0,3,6,1,5\}$: chẵn $\{0,6\}$: $2\cdot 24-1\cdot 6=42$.
- $\{0,3,6,4,2\}$: chẵn $\{0,6,4,2\}$: $4\cdot 24-3\cdot 6=78$.
- $\{0,3,6,4,5\}$: chẵn $\{0,6,4\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
Tổng: $240$.

Tập dạng $(1,2,2)$: chọn 1 phần tử từ $\{0,3,6\}$ cùng $\{1,4\},\{2,5\}$:
- $\{0,1,4,2,5\}$: chẵn $\{0,4,2\}$: $72-12=60$.
- $\{3,1,4,2,5\}$: chẵn $\{4,2\}$, không chứa 0: $2\cdot 24=48$.
- $\{6,1,4,2,5\}$: chẵn $\{6,4,2\}$, không chứa 0: $3\cdot 24=72$.
Tổng: $180$.

Kết quả: $240+180=420$ số. Đáp án A.