Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ và $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$ thoả mãn $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có bất đẳng thức $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$ (dấu bằng khi $a=b=c$), suy ra $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\ge 3$. Mặt khác, với mọi tam giác có $r\le \frac{R}{2}$ (Euler), tức $\frac{2r}{R}\le 1$, dấu bằng khi tam giác đều. Do đó $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}\ge 3+1=4$. Giả thiết cho tổng bằng đúng $4$, nên cả hai dấu bằng phải xảy ra đồng thời: $a=b=c$ và $r=R/2$, tức tam giác $ABC$ đều. Kiểm tra: tam giác đều có $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3$ và $\frac{2r}{R}=1$, tổng bằng $4$ thỏa mãn. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (STT 5: D).