Cho điểm $M(3;1)$, đường thẳng $(d)$ đi qua $M(3;1)$ và cắt $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A(a;0)$, $B(0;b)$ với $a,b>0$. Phương trình đường thẳng $(d)$ sao cho $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$ nhỏ nhất là

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a,b>0$. Vì $(d)$ qua $M(3;1)$ nên $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$. Đặt $u=\frac{1}{a},v=\frac{1}{b}$, ta cần tìm min của $u^2+v^2$ với điều kiện $3u+v=1$. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(3u+v{)}^2\le (3^2+1^2)(u^2+v^2)=10(u^2+v^2)$, nên $u^2+v^2\ge \frac{1}{10}$, dấu bằng khi $\frac{u}{3}=\frac{v}{1}$, tức $u=\frac{3}{10},v=\frac{1}{10}$. Suy ra $a=\frac{10}{3},b=10$, đường thẳng là $\frac{3x}{10}+\frac{y}{10}=1\iff 3x+y-10=0$. Kiểm tra: qua $M(3;1)$: $9+1-10=0$ đúng; $a=10/3>0,b=10>0$ thỏa. Kết quả trùng với đáp án nguồn là B.