Cho điểm $M(3;1)$, đường thẳng $(d)$ đi qua $M(3;1)$ và cắt $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A(a;0)$, $B(0;b)$ với $a,b>0$. Phương trình đường thẳng $(d)$ sao cho $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$ nhỏ nhất là

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a,b>0$. Vì $(d)$ qua $M(3;1)$ nên $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$. Đặt $u=\frac{1}{a},v=\frac{1}{b}$ ($u,v>0$), ta cần tối thiểu $P=u^2+v^2$ với ràng buộc $3u+v=1$. Theo Cauchy-Schwarz: $(u^2+v^2)(9+1)\ge (3u+v{)}^2=1$, nên $P\ge \frac{1}{10}$, dấu '=' khi $\frac{u}{3}=\frac{v}{1}$, tức $u=\frac{3}{10},v=\frac{1}{10}$. Suy ra $a=\frac{10}{3},b=10$. Khi đó $(d)$: $\frac{3x}{10}+\frac{y}{10}=1\iff 3x+y-10=0$. Kiểm tra: đi qua $M(3;1)$ vì $9+1-10=0$; cắt $Ox$ tại $A\left(\frac{10}{3};0\right)$, $Oy$ tại $B(0;10)$, thỏa $a,b>0$. Giá trị nhỏ nhất $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}=\frac{9}{100}+\frac{1}{100}=\frac{1}{10}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.