Cho đồ thị $y=f(x)$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.



Xét hàm số $g(x)=f(x)-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+2018$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-(x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2})$.
Xét parabol $h(x)=x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$ đi qua các điểm $(-3;3)$, $(-1;-2)$, $(1;1)$.
So sánh đồ thị $f^{\prime }(x)$ và parabol $h(x)$ trên đoạn $[-3;1]$:
- Tại $x=-1$, $g^{\prime }(x)=0$.
- Trên khoảng $(-3;-1)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới parabol $h(x)$ nên $g^{\prime }(x)<0$ (hàm số nghịch biến).
- Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm phía trên parabol $h(x)$ nên $g^{\prime }(x)>0$ (hàm số đồng biến).
Do đó trên đoạn $[-3;1]$, hàm số $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$, tức ${\min }_{[-3;1]}g(x)=g(-1)$.