Cho đường tròn $(C_m):x^2+y^2+2(m-1)x-2my-4=0$. Biết rằng khi $m$ thay đổi, đường tròn $(C_m)$ luôn đi qua điểm $I$ cố định có hoành độ dương. Tìm giá trị của $m$ sao cho tiếp tuyến của đường tròn $(C_m)$ tại $I$ song song với $(d):x-2y-1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại phương trình: $(x^2-2x+y^2-4)+m(2x-2y)=0$. Để điểm $I(x_0;y_0)$ cố định thuộc mọi $(C_m)$ thì $2x_0-2y_0=0\Rightarrow x_0=y_0$, thay vào: $2x_0^2-2x_0-4=0\Rightarrow x_0^2-x_0-2=0\Rightarrow x_0=2$ hoặc $x_0=-1$. Vì hoành độ dương nên $I(2;2)$.

Tâm $(C_m)$: $C(1-m;m)$, bán kính $R^2=(m-1{)}^2+m^2+4$.

Tiếp tuyến tại $I$ song song với $(d):x-2y-1=0$ (hệ số góc $\frac{1}{2}$) nên $CI\perp d$, tức hệ số góc của $CI$ bằng $-2$:
$$k_{CI}=\frac{m-2}{(1-m)-2}=\frac{m-2}{-m-1}=-2\Rightarrow m-2=2(m+1)\Rightarrow m=-4.$$

Kiểm tra: với $m=-4$, $C(5;-4)$, $\overrightarrow{CI}=(-3;6)$ có $\overrightarrow{CI}\cdot (1;-2)=-3-12=-15\ne 0$... kiểm tra lại vuông góc với $(d)$: vecto pháp tuyến của $(d)$ là $(1;-2)$, $\overrightarrow{CI}=(-3;6)=-3(1;-2)$ nên $CI$ song song pháp tuyến của $(d)$, tức tiếp tuyến song song $(d)$ ✓. Bán kính: $R^2=25+16+4=45=C{I}^2=9+36$ ✓ nên $I$ thuộc đường tròn. Vậy $m=-4$.