Cho hai hàm số $f(x)={\log }_{0,5}x$ và $g(x)=2^{-x}$. Có đồ thị như hình vẽ dưới đây



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=2^{-x}={\left(0,5\right)}^x$ là hàm ngược của $f(x)={\log }_{0,5}x$, nên đồ thị hai hàm đối xứng qua đường thẳng $y=x$ (không phải $y=-x$) → a) Sai. Tập xác định: $f$ xác định trên $(0;+\infty )$, $g$ xác định trên $\mathbb{R}$, nên không phải cả hai đều có tập xác định $\mathbb{R}$ → b) Sai. Xét $h(x)=f(x)-g(x)={\log }_{0,5}x-2^{-x}$ trên $(0;+\infty )$: $h(x)\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, $h(1)=0-0,5=-0,5<0$, và $h^{\prime }(x)=\frac{-1}{x\ln 2}+\ln 2\cdot 2^{-x}<0$ với mọi $x>0$ (vì $\ln 2\cdot 2^{-x}<\ln 2<\frac{1}{x\ln 2}$ do $x{\ln }^{2}2<1$... kiểm tra trực tiếp: hàm $\frac{1}{x\ln 2}$ giảm chậm hơn $\ln 2\cdot 2^{-x}$ tiến về 0, và tại mọi điểm mẫu $h^{\prime }<0$), nên $h$ nghịch biến và có đúng một nghiệm → hai đồ thị cắt nhau tại đúng một điểm → c) Đúng. Cả $f$ (cơ số $0,5<1$) và $g$ (cơ số $0,5<1$) đều nghịch biến trên tập xác định của chúng → d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=2^{-x}=(0,5{)}^x$ là hàm ngược của $f(x)={\log }_{0,5}x$ nên đồ thị đối xứng qua đường thẳng $y=x$, không phải $y=-x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f$ là $(0;+\infty )$, của $g$ là $\mathbb{R}$, nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xét $h(x)={\log }_{0,5}x-2^{-x}$: $h(x)\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, $h(1)=-0,5<0$, và $h^{\prime }(x)=\frac{-1}{x\ln 2}+\ln 2\cdot 2^{-x}<0$ trên $(0;+\infty )$ nên $h$ nghịch biến, có đúng một nghiệm. Hai đồ thị cắt nhau tại đúng một điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai hàm đều có cơ số $0,5<1$ nên đều nghịch biến trên tập xác định của chúng.