Cho hai hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ và $g(x)=\frac{2x-1}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g^{\prime }(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ (với $x\ne -1$).
a) $g^{\prime }(1)=\frac{3}{4}$ → đúng.
b) $f(1)=2$, $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$, $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$; tiếp tuyến: $y=2+\frac{1}{2}(x-1)=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ → đúng.
c) $f(x)f^{\prime }(x)=\sqrt{x^2+3}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}=x$. BPT $x<1$ có tập nghiệm $(-\infty ;1)$, không phải $(1;+\infty )$ → sai.
d) $3f(x)f^{\prime }(x)-x(x+1{)}^2{g}^{\prime }(x)=3x-x(x+1{)}^2\cdot \frac{3}{(x+1{)}^2}=3x-3x=0$ với mọi $x\ne -1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ nên $g^{\prime }(1)=\frac{3}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $x=1$: $y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=2+\frac{1}{2}(x-1)=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)f^{\prime }(x)=x<1\iff x<1$, tập nghiệm là $(-\infty ;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3x-x(x+1{)}^2\cdot \frac{3}{(x+1{)}^2}=3x-3x=0$ với mọi $x\ne -1$.