Cho hai hàm số $y=f(x)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{x-3}$ và $y=g(x)={\log }_4(x-5{)}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{x-3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\ln (x-3)}{\ln \sqrt{2}}={\log }_2(x-3)$ với $x>3$; và $g(x)={\log }_4(x-5{)}^2={\log }_2|x-5|$ với $x\ne 5$.
a) Tập xác định của $g(x)$ là $\mathbb{R}\setminus \{5\}$, không phải $(5;+\infty )$ → Sai.
b) $f(5)={\log }_2(5-3)={\log }_{2}2=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị $f$ → Đúng.
c) $f(x)=g(x)\iff {\log }_2(x-3)={\log }_2|x-5|$ với $x>3$, tức $x-3=|x-5|$. Với $x\ge 5$: $x-3=x-5$ vô nghiệm. Với $3<x<5$: $x-3=5-x\iff x=4$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có duy nhất nghiệm $x=4$ → Đúng.
d) $f(x)\ge g(x)\iff x-3\ge |x-5|$. Với $3<x<5$: $x-3\ge 5-x\iff x\ge 4$, cho $x\in [4;5)$. Với $x\ge 5$: $x-3\ge x-5$ luôn đúng, cho $x\in [5;+\infty )$. Vậy tập nghiệm là $[4;+\infty )$, có vô số nghiệm nguyên (4,5,6,...), không phải bốn nghiệm nguyên → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x-5{)}^2>0$ với mọi $x\ne 5$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{5\}$, không phải $(5;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(5)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{2}={\log }_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}{)}^1=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>3$: $f(x)={\log }_2(x-3)$, $g(x)={\log }_2|x-5|$. Phương trình $x-3=|x-5|$ chỉ có nghiệm $x=4$ (trên $[5;+\infty )$ vô nghiệm, trên $(3;5)$ có $x=4$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình tương đương $x-3\ge |x-5|$ với $x>3$, tập nghiệm $[4;+\infty )$ có vô số nghiệm nguyên, không phải bốn.